Дмитрий Шишкин родился в 1992 году в Челябинске. В трехлетнем возрасте впервые выступил на сцене, в шесть лет сыграл с оркестром, в восемь был назван «Человеком года» в Челябинске в номинации «Юное дарование». С четырех лет обучался в челябинской Средней специальной музыкальной школе имени П. И. Чайковского, и в этот период стал победителем юношеских конкурсов «Щелкунчик», имени Фридерика Шопена в Пекине и имени Марии Юдиной в Санкт-Петербурге.
Окончил Московскую среднюю специальную музыкальную школу (колледж) имени Гнесиных (2010, класс Михаила Хохлова) и Московскую государственную консерваторию (2015, класс профессора Элисо Вирсаладзе). Продолжил совершенствоваться у Эпифанио Комиса в Институте музыки имени Винченцо Беллини в Катании. Стипендиат Международной благотворительной программы «Новые имена», Международного благотворительного фонда Владимира Спивакова и фонда «Русское исполнительское искусство». Лауреат международных конкурсов: во Фриули – Венеции-Джулии (Италия, 2013, II премия), имени Ферруччо Бузони в Больцано (Италия, 2013, III премия и специальный приз за лучшее исполнение концерта Моцарта), под патронатом Бразильского банка экономического и социального развития (BNDES) в Рио-де-Жанейро (Бразилия, 2014, II премия), имени Фридерика Шопена в Варшаве (2015, VI премия), Top of the World в Тромсё (Норвегия, 2017, I премия), в Женеве (Швейцария, 2018, I премия и три специальных приза). В июне 2019 года завоевал II премию и серебряную медаль XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского в Москве.
Гастролировал во многих странах Европы, в Японии, Китае, Южной Корее, Бразилии. Выступал с Российским национальным оркестром, Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, БСО имени П. И. Чайковского, Национальным филармоническим оркестром России, Симфоническим оркестром Москвы «Русская филармония», Симфоническим оркестром Госкапеллы Санкт-Петербурга, Академическим симфоническим оркестром Нижегородской филармонии, камерными оркестрами Musica Viva и «Гнесинские виртуозы», Варшавским филармоническим оркестром, Национальным оркестром Бельгии и другими коллективами.
Сотрудничал с известными дирижерами, в числе которых Владимиром Федосеевым, Михаилом Плетнёвым, Василием Петренко, Владиславом Чернушенко, Александром Рудиным, Максимом Федотовым, Михаилом Хохловым, Марин Олсоп. Выступал на музыкальных фестивалях в Дубровнике (Хорватия), «Шопен и его Европа» (Польша), в Брешии и Бергамо, в Палермо (Италия) и других.
Пианист записал несколько компакт-дисков в Японии, Польше и России. С 2014 года является артистом итальянского лейбла KNS Classics.
Выступал на Летнем фестивале в Дубровнике, Международном фестивале в Бергене, Международном фестивале фортепианной музыки в Брешиа и Бергамо и Международном фестивале «Шопен и его Европа» в Варшаве.
Среди ангажементов на сезон 2019–2020 годов – гастроли в ЮАР, Японии (с Токийским симфоническим оркестром), Сингапуре, Тайване и Гонконге, а также концерты в Вене, Мюнхене, Париже, Фрайбурге, Варшаве и Абу-Даби.
