Алексей Стариков закончил Центральную музыкальную школу при Московской государственной консерватории имени П.И. Чайковского (педагоги: заслуженный деятель искусств Татарстана Кира Александровна Шашкина, профессор Михаил Сергеевич Воскресенский). С 2006 года по 2011 год пианист обучался в Московской консерватории им. П.И. Чайковского, там же обучался в аспирантуре под руководством профессора Михаила Сергеевича Воскресенского. Алексей Стариков является стипендиатом Фонда Константина Орбеляна и Фонда Владимира Спивакова.
Алексей Стариков выступает во многих городах России, в различных концертных залах Франции, Литвы, Италии, Испании, Китая, Голландии, Германии, Швейцарии, Индии, Казахстана. Неоднократно выступал с Оркестром министерства обороны, Симфоническим оркестром Крымской филармонии, Orchestra filarmonica Mihail Jora di Bacau.
Алексей Стариков является лауреатом множества престижных российских и зарубежных фестивалей. Среди самых ярких достижений молодого пианиста — победа в Международном конкурсе Concours Intenational de Piano Paris (Франция, Париж, 2008), 1st All — Russian competition (2010, Россия), Concorsi Internazionali di Musica delta Val Tidone in Italy (Италия, 2010), VI Campillos International Piano Competition (Испания, Малага, 2012).
Алексей Стариков принимал участие в ряде международных конкурсов фестивалей: Intenational Festival Russian Music in Lithuania (2001), XXIV Festiva de Primavera in Sevilla (Испания 2013), The Internatinal Holland Music Sessions (Нидерланды, 2013), Международный музыкальный фестиваль в Крыму (2013), International musical festival in Segovia (Испания, 2014), Международный музыкальный фестиваль Юрия Башмета (Ярославль, 2014), Summer Academy in Samedan (Швейцария, 2015).
Пианист ведет активную концертную деятельность. В репертуаре исполнителя широко представлены произведения признанных классиков: Баха, Бетховена, Шопена, Шуберта, Равеля, Моцарта, Рахманинова, Чайковского.
