Александр Ключко родился в 2000 году в Саранске. Начал обучаться игре на фортепиано с шести лет в Детской музыкальной школе № 6 (класс Олеси Березиной). В 2015 году окончил ДМШ при Московском государственном колледже музыкального исполнительства имени Ф. Шопена, в 2019 году с отличием – колледж (класс Сергея Арцибашева). Принимал участие в Международной летней фортепианной академии в Самедане (Швейцария), где занимался у Рены Шерешевской (2017). В 2018–2021 годах обучался в ее классе в Высшей школе музыки имени Альфреда Корто в Париже. С 2021 года – студент Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс профессора Павла Нерсесьяна).
Лауреат многих международных конкурсов и фестивалей: имени Константина Игумнова в Липецке, Алексея Наседкина в Ярославле (вторые премии), «Путь к мастерству» в Москве (II премия и специальный приз за лучшее исполнение произведений Моцарта), памяти Веры Лотар-Шевченко в Екатеринбурге (I премия), в Центральной музыкальной школе (I премия), Virtuoso (дважды, во второй раз удостоен специального приза от фонда Yamaha Music), Владимира Крайнева (звание лауреата и стипендия Высшей школы музыки имени Альфреда Корто в Париже), «Дельфийские игры» в Екатеринбурге (Золотая медаль среди участников из России и Серебряная медаль среди участников из стран СНГ), имени Наримана Сабитова в Уфе (I премия), Astana Рiano Passion (I премия и Гран-при), в Иль-де-Франс (Франция, I премия), Паломы О'Ши в Сантандере (Испания, III премия), имени Марии Канальс в Барселоне (Испания, II премия), Манхэттенского конкурса в Нью-Йорке (Золотая медаль). Удостоен Гранта мэра Москвы I степени (2017).
В июне 2022 года завоевал I премию в номинации «фортепиано» на Международном конкурсе пианистов, композиторов и дирижеров имени С. В. Рахманинова в Москве.
Выступал в залах Московской консерватории, Московской филармонии, Большом театре, артистическом центре Yamaha в Москве, Зале Альфреда Корто в Париже, Дворце каталонской музыки в Барселоне, Дворце фестивалей Кантабрии в Сантандере (Испания) и других. Играл с Национальным филармоническим оркестром России, Госоркестром России имени Е. Ф. Светланова, Симфоническим оркестром Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Губернаторским симфоническим оркестром Иркутска, Ростовским академическим симфоническим оркестром, Национальным симфоническим оркестром Республики Башкортостан, Симфоническим оркестром театра «Астана Опера», Симфоническим оркестром радио и телевидения Испании, Филармоническим оркестром Будапешта. Принимал участие в фестивалях «Звезды на Байкале» в Иркутске, «Музыкальный Олимп» в Санкт-Петербурге, Gradus в Орхусе (Дания).
