Солист и участник камерных ансамблей, он сделал блестящую карьеру в Великобритании, успешно выступает на концертных площадках от Балтийского моря до Атлантического океана, записывает сочинения для виолончели в студиях Франции, Австрии, Нидерландов, США и России. В его репертуаре вся виолончельная классика – Гайдн и Дворжак, записи сонат для виолончели соло Баха, музыка для виолончели и фортепиано композиторов «Могучей кучки», полное собрание сочинений Бетховена для виолончели.
Джозеф Спунер основал камерный ансамбль Camarada, работал в составе фортепианного трио, трио для кларнета и струнного квартета. Сотрудничество с современными музыкальными коллективами включает выступления на крупных фестивалях (Хаддерсфилд), записи (BBC Radio 3, Channel 4), мировые премьеры (Э. Валлен и Р. Смолли). Спунер завоевал известность, возвращая в репертуар незаслуженно забытые произведения. Зрители и критики высоко оценили записи Алана Буша, Александра Крейна, Майкла Балфа, Сэмюэла Кольридж-Тэйлора, Эдгара Бентона, Ааронаа Копленда, Джорджа Дайсона и рядя других. Музыкант избран ассоциированным членом Королевской Академии Музыки в 2012 году.